3 Fragen zu Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion \( f(x) \) vom Grad \( n \) hat höchstens \( n-1 \) Extremstellen, da die Ableitung \( f'(x) \) eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n-1 \) ist. Diese \( n-1 \) Extremstellen teilen die Funktion in höchstens \( n \) Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades (\( n = 3 \)) ist die Ableitung eine quadratische Funktion zweiten Grades (\( n-1 = 2 \)), die höchstens zwei Nullstellen haben kann. Diese zwei Nullstellen teilen die Funktion in höchstens drei Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Daher besitzt eine ganzrationale Funktion dritten Grades höchstens drei Monotonieintervalle.

Um die Produktfunktion \( f \times g \) der beiden gegebenen Funktionen \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \) und \( g(x) = 3x^3 + 4x \) zu berechnen, multipliziere die beiden Funktionen miteinander: \[ (f \times g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] Nun multipliziere die Terme aus: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] \[ = x^2 \cdot (3x^3 + 4x) + 3x \cdot (3x^3 + 4x) - 4 \cdot (3x^3 + 4x) \] Multipliziere jeden Term einzeln aus: \[ = x^2 \cdot 3x^3 + x^2 \cdot 4x + 3x \cdot 3x^3 + 3x \cdot 4x - 4 \cdot 3x^3 - 4 \cdot 4x \] \[ = 3x^5 + 4x^3 + 9x^4 + 12x^2 - 12x^3 - 16x \] Fasse die Terme zusammen: \[ = 3x^5 + 9x^4 + (4x^3 - 12x^3) + 12x^2 - 16x \] \[ = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \] Die Produktfunktion \( f \times g \) ist also: \[ (f \times g)(x) = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \]

Um die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) zu berechnen, addierst du die beiden gegebenen Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Die Funktionen sind: \[ f(x) = x^2 + 3x - 4 \] \[ g(x) = 3x^3 + 4x \] Die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) ist: \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f+g)(x) = (x^2 + 3x - 4) + (3x^3 + 4x) \] Nun addiere die Terme: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 3x + 4x - 4 \] Fasse die Terme zusammen: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \] Die Summenfunktion ist also: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \]